Question

（2012•福建模擬）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=

3

，AB⊥BC，CD⊥BD，如圖1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如圖2．

（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱錐A′-BDC的體積；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得A′N⊥BD？若存在，請求出

BN

BC

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過已知條件證明CD⊥平面A'BD，然后證明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S_△BDC，在Rt△A'BD中，過點(diǎn)A'做A'E⊥BD于E，說明A'E⊥平面BCD．說明是幾何體的高，即可求解．
（Ⅲ）在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，過點(diǎn)E做EN∥DC交BC于點(diǎn)N，推出EN⊥BD，說明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可證明在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD．

解答：滿分（12分）．
解：（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB?平面A'BD，∴CD⊥A'B．      …（4分）
（Ⅱ）如圖（1）在Rt△ABD中， BD=

AB2+AD2

=2．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在Rt△BDC中， DC=BDtan30°=

2 3

3

．
∴S△BDC=

1

2

BD•DC=

2 3

3

．…（6分）
如圖（2），在Rt△A'BD中，過點(diǎn)A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵A′E=

A′B•A′D

BD

=

3

2

，…（7分）
∴VA′-BDC=

1

3

•S△BDC•A′E=

1

3

•

2 3

3

•

3

2

=

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如圖（2）在Rt△A'EB中，BE=

A′B2-A′E2

=

1

2

，
∴

BE

BD

=

1

4

，…（9分）
過點(diǎn)E做EN∥DC交BC于點(diǎn)N，則

BN

BC

=

BE

BD

=

1

4

，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N?平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，此時

BN

BC

=

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐體積公式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．