Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=

2

，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上．
（1）求F在何處時(shí)，EF⊥平面PBC；
（2）在條件（1）下，EF是否為PC與AD的公垂線(xiàn)段？若是，求出公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不是，說(shuō)明理由；
（3）在條件（1）下，求直線(xiàn)BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）、建立空間坐標(biāo)系利用空間向量共線(xiàn)、空間向量垂直建立方程計(jì)算出F點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷出F是PC中點(diǎn)；
（2）、利用（1）的結(jié)論及BC轉(zhuǎn)化了垂直關(guān)系，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出；
（3）、找到法向量，再利用直線(xiàn)與平面的夾角計(jì)算公式，可得到夾角．

解答：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)AD、AB、AP為x軸、
y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），P（0，0，

2

)，B（0，

2

，0），C（2，

2

，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令

PF

=λ

PC

，
設(shè)F（x，y，z），

BC

=（2，0，0），

PC

=（2，

2

，-

2

)，

EF

=(x-1，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴

EF

•

BC

=0，

EF

•

PC

=0
又∵

PF

=λ

PC

，∴λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，
故F為PC的中點(diǎn)…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC與AD的公垂線(xiàn)段，
∵λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，∴

EF

=(0，

2

2

，

2

2

)，即|

EF

|=1…（8分）
（3）由（1）可知

PC

=（2，

2

，-

2

)，且PB=BC=2，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴

PC

為平面BEF的一個(gè)法向量，
而

BD

=(2，-

2

，0），設(shè)BD與平面BEF所成角為θ，
則sinθ=cos＜

BD

，

PC

＞=

BD • PC

| BD |•| PC |

=

3

6

，
∴θ=arcsin

3

6

，
故BD與平面BEF所成的角為arcsin

3

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間向量共線(xiàn)、垂直，空間兩點(diǎn)間的距離公式，直線(xiàn)與平面的夾角計(jì)算公式．鍛煉了學(xué)生幾何問(wèn)題代數(shù)化和學(xué)生的計(jì)算能力．