Question

已知數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-1，n∈N*，數(shù)列{b_n}滿足bn=1-log

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an，n∈N*
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_nb_n}的n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件先求出a_n=2a_n-1，從而得到a_n=2^n-1，再由bn=1-log

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2n-1=1-(1-n)=n求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）因?yàn)閧a_nb_n}=n•2^n-1，所以由錯(cuò)位相減法可知數(shù)列{a_nb_n}的n項(xiàng)和為T_n．

解答：（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2^n-1（2分）bn=1-log

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2n-1=1-(1-n)=n，∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=n
（2{a_nb_n}=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-12T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ•
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的求和，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減求和法的熟練運(yùn)用．