已知橢圓的中心在坐標原點
O，焦點在坐標軸上，直線
y=
x＋1與該橢圓相交于
P和
Q，且
OP⊥
OQ，|
PQ|=
．求橢圓的方程．
， 或
本小題考查橢圓的性質(zhì)、兩點的距離公式、兩條直線垂直條件、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及分析問題的能力．滿分12分．
解：求橢圓方程為
依題意知，點
P、
Q的坐標滿足方程組
將②式代入①式，整理得(
a2＋
b2)
x2＋2
a2x＋
a2(1－
b2)="0, " ③ ——2分
設(shè)方程③的兩個根分別為
x1，
x2，那么直線
y=
x＋1與橢圓的交點為
P(
x1，
x1＋1)，
Q(
x2，
x2＋1)． ——3分
由題設(shè)
OP⊥
OQ,|
PQ|=
，可得
整理得
——6分解這個方程組，得
或
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得
(Ⅰ)
或 (Ⅱ)
——10分
解方程組(Ⅰ)，(Ⅱ)，得
或
故所求橢圓的方程為
， 或
——12分
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分別是橢圓
的左右焦點，
點在橢圓上，
是面積為
的正三角形，求
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，離心率
，那么它的短軸長是（ ）
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設(shè)
，
，若直線
和橢圓
有公共點，則
的取值范圍是
、
；
、
；
、
；
、
.
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橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點
、
是它的焦點，長軸長為
，焦距為
，靜放在點
的小球（小球的半徑不計），從點
沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點
時，小球經(jīng)過的路程是
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是橢圓的左焦點，
是橢圓上一點，
軸，
，
求橢圓的離心率。
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：單選題
橢圓
（
）的左、右焦點分別是
，過
作傾斜角為
的直線與橢圓的一個交點為
，若
垂直于
軸，則橢圓的離心率為( )
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