Question

設(shè)點F（1，0），M點在x軸上，點P在y軸上，且

MN

=2

MP

，PM⊥PF，當點P在y軸上運動．
（1）求點N的軌跡C的方程．
（2）設(shè)Q為直線x+1=0上的動點，過Q作C的兩條切線l₁，l₂，切點分別為A與B
     ①證明：l₁⊥l₂；
     ②證明：直線AB過定點．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先確定坐標之間的關(guān)系，再利用PM⊥PF，即可求點N的軌跡C的方程．
（2）①求出切線l₁，l₂的方程，利用Q為直線x+1=0上的動點，可得

y2

y1

=

x2-1

x1-1

，將x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，代入整理，即可證明結(jié)論；
②設(shè)AB所在直線方程為my=x+n，代入y²=4x，由韋達定理知，y₁y₂=4n，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：依題知，P是線段MN的中點，設(shè)M（a，0）（a＜0），P（0，b），N（x，y）
則

x+a=0 y=2b

，∵PM⊥PF，∴

PM

?

PF

=0，即a+b²=0，∴y²=4x為所求．…（4分）
（2）證明：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（-1，t）
則l₁的方程為y₁y=2（x₁+x）；l₂的方程為y₂y=2（x₂+x）
∴ty₁=2（x₁-1），ty₂=2（x₂-1），
∴

y2

y1

=

x2-1

x1-1

，將x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

代入整理得y₁y₂=-4   …（8分）
∴k₁k₂=

4

y1y2

=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂；            …（10分）
②設(shè)AB所在直線方程為my=x+n，代入y²=4x，消去x整理得
y²-4my+4n=0，由韋達定理知，y₁y₂=4n
∴4n=-4，n=-1，即AB所在直線方程為my=x-1
于是直線AB過定點F（1，0）…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線AB過定點，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．