Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：(1)在中，，

　　即，

　　，

　　即(常數(shù))，

　　點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線．

　　方程為：．

　　(2)設(shè)，

　�、佼�(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，，在雙曲線上．

　　即，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0816/0021/db2d9c32b3d8feafdf01b0198dd65341/C/Image248.gif" width=58 HEIGHT=19>，所以．

　�、诋�(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為．

　　由得：

　　，

　　由題意知：，

　　所以，．

　　于是：．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0816/0021/db2d9c32b3d8feafdf01b0198dd65341/C/Image260.gif" width=84 height=22>，且在雙曲線右支上，所以

　　．

　　由①②知，．

　　解法二：(1)同解法一

　　(2)設(shè)，，的中點(diǎn)為．

　�、佼�(dāng)時(shí)，，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0816/0021/db2d9c32b3d8feafdf01b0198dd65341/C/Image269.gif" width=58 HEIGHT=19>，所以；

　�、诋�(dāng)時(shí)，．

　　又．所以；

　　由，得，由第二定義得

　　．

　　所以．

　　于是由，得

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0816/0021/db2d9c32b3d8feafdf01b0198dd65341/C/Image282.gif" width=40 HEIGHT=24>，所以，又，

　　解得：．由①②知．