Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx+x．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)數(shù)值即為該點處的斜率，點斜式可得切線方程．
（2）分離變量，將原方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線y=m與函數(shù)$g（x）=\frac{lnx+x}{x}$的交點個數(shù)，再求導(dǎo)得函數(shù)g（x）的單調(diào)性與草圖，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}$，k=f'（1）=2，
∴切線方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1
（2）由題意$m=\frac{lnx+x}{x}$在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實數(shù)解
令$g（x）=\frac{lnx+x}{x}$，x∈[1，e²]，
∵$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}=0$，解得x=e，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[e，e²]上單調(diào)遞減
又g（1）=1，$g（{e^2}）=\frac{{{e^2}+2}}{e^2}＞g（1）$，
∴$m∈[{1，\frac{{{e^2}+2}}{e^2}}）$．
或m=g（e）=$\frac{1+e}{e}$．
∴$m∈[{1，\frac{{{e^2}+2}}{e^2}}）$∪{$\frac{1+e}{e}$}．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．