Question

若函數(shù)y=f（x）=

2ax+1

2x-b

的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則a，b應(yīng)滿足

 

．

Answer 1

考點：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因為圖象本身關(guān)于直線y=x對稱故可知原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，所以先求反函數(shù)再與原函數(shù)比較系數(shù)可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)y=

2ax+1

2x-b

的圖象關(guān)于直線y=x對稱
∴利用反函數(shù)的性質(zhì)，依題知（0，-

1

b

）與（-

1

b

，0）皆在原函數(shù)圖象上，
∴0=

2a(- 1 b )+1

2(- 1 b )-b

，∴2a=b，
若ab+1=0，那么函數(shù)y=f（x）=

2ax+1

2x-b

=-

1

b

=a是常值函數(shù)，不可能關(guān)于直線y=x對稱．
故答案為：2a=b且ab+1≠0．

點評：本題主要考查反函數(shù)，反函數(shù)是函數(shù)知識中重要的一部分內(nèi)容．對函數(shù)的反函數(shù)的研究，我們應(yīng)從函數(shù)的角度去理解反函數(shù)的概念，從中發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的本質(zhì)，并能順利地應(yīng)用函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系去解決相關(guān)問題．