Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）有絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的極大值和極小值，試確定常數(shù)a的值．

Answer 1

分析：先求利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出極值點(diǎn)滿足的條件，再利用極大值與極小值互為相反數(shù)建立等量關(guān)系，求出常數(shù)a即可．

解答：解：f（x）=x（x-1）（x-a）=x³-（a+1）x²+ax，
∴f′（x）=3x²-2（a+1）x+a，
令f′（x）=0，得3x²-2（a+1）x+a=0，
由題意，該方程必定有不相等兩實(shí)根，可分別設(shè)為m，n，
則m+n=

2

3

(a+1)，mn=

a

3

，
∴f（m）+f（n）=m³+n³-（a+1）（m²+n²）+a（m+n）
=（m+n）³-3mn（m+n）-（a+1）[（m+n）²-2mn]+a（m+n）
=-

2

27

(a+1)(a-2)(2a-1)=0
∴a=-1或a=2或a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．