已知點O在二面角α-AB-β的棱上,點P在α內(nèi),且∠POB=45°.若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q,都有∠POQ≥45°,則二面角α-AB-β的取值范圍是   
【答案】分析:本題考查的知識點是二面角及其度量,由于二面角α-AB-β的可能是銳二面角、直二面角和鈍二面角,故我們要對二面角α-AB-β的大小分類討論,利用反證法結(jié)合點P在α內(nèi),且∠POB=45°.若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q,都有∠POQ≥45°,易得到結(jié)論.
解答:解:若二面角α-AB-β的大小為銳角,
則過點P向平面β作垂線,設(shè)垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,
連PC、CH、OH,則∠PCH就是所求二面角的平面角.
根據(jù)題意得∠POH≥45,
由于對于β內(nèi)異于O的任意一點Q,都有∠POQ≥45°,
∴∠POH≥45°,
設(shè)PO=2x,則
又∵∠POB=45°,
∴OC=PC=,而在Rt△PCH中應(yīng)有
PC>PH,
∴顯然矛盾,故二面角α-AB-β的大小不可能為銳角.
即二面角α-AB-β的范圍是:[90°,180°].
若二面角α-AB-β的大小為直角或鈍角,
則由于∠POB=45°,
結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點Q,都有∠POQ≥45°.
即二面角α-AB-β的范圍是[90°,180°].
故答案為:[90°,180°].
點評:高考考點:二面角的求法及簡單的推理判斷能力,易錯點:畫不出相應(yīng)的圖形,從而亂判斷.備考提示:無論解析幾何還是立體幾何,借助于圖形是我們解決問題的一個重要的方法,它可以將問題直觀化,從而有助于問題的解決.
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