Question

17．已知圓C的圓心在直線(xiàn)x-3y=0上，且與y軸相切于點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線(xiàn)l：x-y+m=0交于A，B兩點(diǎn)，分別連接圓心C與A，B兩點(diǎn)，若CA⊥CB，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），推出a=3b．利用切點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓心與半徑，然后求出圓的方程．
（Ⅱ）判斷△ABC為等腰直角三角形．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （本題滿(mǎn)分9分）
解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），圓C的圓心在直線(xiàn)x-3y=0上，所以a=3b．
因?yàn)閳A與y軸相切于點(diǎn)（0，1），則b=1，r=|a-0|．
所以圓C的圓心坐標(biāo)為（3，1），r=3．
則圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．      …（5分）
（Ⅱ）因?yàn)镃A⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC為等腰直角三角形．
因?yàn)閨CA|=|CB|=r=3，則圓心C到直線(xiàn)l的距離$d=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
則$d=\frac{|3-1+m|}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，求得m=1或-5． …（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．