Question

已知數(shù)列{b_n}，b_n=2-

1

bn-1

（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{a_n}滿足a_n=

1

bn-1

．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=-

7

2

，求數(shù)列{b_n}中的最大項和最小項的值；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n≥S₆（n∈N^*），求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用等差數(shù)列的定義作差，然后用a_n=

1

bn-1

，b_n=2-

1

bn-1

替換后整理得答案；
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=1+

1

x- 9 2

，分析可知函數(shù)在（0，

9

2

）和（

9

2

，+∞）上為減函數(shù)，由此判斷出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，從而得到數(shù)列{b_n}中的最大項和最小項的值；
（3）由

S7≥S6 S5≥S6

解得a₁的取值范圍，驗證后得答案．

解答： （1）證明：∵an-an-1=

1

bn-1

-

1

bn-1-1

=

1

2bn-1-1 bn-1

-

1

bn-1-1

=

bn-1

bn-1-1

-

1

bn-1-1

=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=-

7

2

，
∴an=-

7

2

+n-1=n-

9

2

，
bn=1+

1

n- 9 2

．
函數(shù)f（x）=1+

1

x- 9 2

在（0，

9

2

）和（

9

2

，+∞）上為減函數(shù)，
故a₅＞a₆＞a₇＞…＞a_n＞…＞a₁＞a₂＞a₃＞a₄，
數(shù)列{b_n}中的最大項為a₅=3，最小項為a₄=-1；
（3）解：由

S7≥S6 S5≥S6

，解得-6≤a₁≤-5．
經(jīng)檢驗得-6≤a₁≤-5時，若n≤6，則a_n≤0，若n≥7，則a_n≥0．
故S₆最�。�
故所求a₁的取值范圍是-6≤a₁≤-5．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵是分析出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，是中檔題．