在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足a2+b2-c2-ab=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若
sinC
cosAsinB
=
2c
b
，且
AB
•
BC
=-8，求△ABC的面積．
分析：（I）根據(jù)題中的等式，利用余弦定理算出cosC=
1
2
，結(jié)合0＜C＜π，可得角C的大�。�
（II）根據(jù)正弦定理，化簡
sinC
cosAsinB
=
2c
b
得到cosA=
1
2
，從而得出A=
π
3
，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理算出B=
π
3
．再由
AB
•
BC
=-8解出ac=16，利用三角形的面積公式加以計算，可得△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵a2+b2-c2-ab=0，可得a2+b2-c2=ab，
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
ab
2ab
=
1
2
，
結(jié)合0＜C＜π，可得C=
π
3
；
（Ⅱ）∵
sinC
cosAsinB
=
2c
b
，
∴由正弦定理得
sinC
cosAsinB
=
2sinC
sinB
，解得cosA=
1
2
，結(jié)合0＜A＜π，得A=
π
3
．
∵△ABC中，C=
π
3
，∴B=π-（A+B）=
π
3
，
因此
AB
•
BC
=-accosB=-8，可得accos
π
3
=8，解得ac=16
∴△ABC的面積S=
1
2
acsinB=
1
2
×16×
3
2
=4
3
．
點評：本題給出三角形的邊滿足的關(guān)系式，求角C的大小，并在已知向量數(shù)量積的情況下求△ABC的面積．著重考查了正余弦定理、向量的數(shù)量積公式與三角形面積公式等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大�。�
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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