Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PD⊥面ABC于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在AC上，PA=PB=PC=3，設(shè)AB=BC=2

3

，求AC與平面BPC所成角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與平面BPC所成角．

解答： 解：∵在三棱錐P-ABC中，PD⊥面ABC于點(diǎn)D，
且點(diǎn)D在AC上，PA=PB=PC=3，設(shè)AB=BC=2

3

，
∴D是AC中點(diǎn)，且BD⊥AC，∠ABC=90°，
DA=DB=DC=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

，PD=

32-( 6 )2

=

3

，
以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，-

6

，0），C（0，

6

，0），
B（

6

，0，0），P（0，0，

3

），

AC

=（0，2

6

，0），

PB

=(

6

，0，-

3

)，

PC

=（0，

6

，-

3

），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB = 6 x- 3 z=0 n • PC = 6 y- 3 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，

2

），
設(shè)AC與平面BPC所成角為θ，
∴sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

2 6

2 6 • 4

|=

1

2

，
∴AC與平面BPC所成角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．