Question

【題目】設a是實數，f（x）=a﹣ （x∈R）．
（1）證明不論a為何實數，f（x）均為增函數；
（2）若f（x）滿足f（﹣x）+f（x）=0，解關于x的不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域為R…（1分）

設x1＜x2，則

=

因為

所以 即f（x1）＜f（x2）

所以，不論a何值f（x）為增函數

（2）解：因為f（﹣x）+f（x）=0

所以f（1﹣2x）=﹣f（2x﹣1）

又因為f（x+1）+f（1﹣2x）＞0

所以f（x+1）＞f（2x﹣1）…（9分）

又因為f（x）為增函數，所以x+1＞2x﹣1

解得：x＜2

【解析】（1）利用函數的單調性的定義直接證明即可．（2）判斷函數的奇偶性，利用函數的單調性化簡求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．