Question

8．函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）；   
②函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
③當a＜0時，若0＜m＜n＜1，則有F（m）-F（n）＜0成立；
④當a＞0時，函數(shù)y=F（x）-2有4個零點．
其中正確命題的序號為②③④．

Answer 1

分析 （1）|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|(zhì)f（x）|；①不對：（2）F（-x）=F（x），函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；故②正確
（3）|log₂m|＞|log₂n|，a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正確
（4）x＞0時，F(xiàn)（x）的最小值為F（1）=1，運用圖象判斷即可．

解答 解：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
對于①，∴|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|(zhì)f（x）|；故①不錯；
對于②，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$═F（x）∴函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；故②正確，
對于③，∵當a＜0時，若0＜m＜n＜1，∴|log₂m|＞|log₂n|
∴a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正確；
對于④，∴x＞0時，F(xiàn)（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，∴x＞0時，F(xiàn)（x）的最小值為F（1）=1，
故x＞0時，F(xiàn)（x）與y=-2有2個交點，∵函數(shù)F（x）是偶函數(shù)，∴x＜0時，F(xiàn)（x）與y=-2有2個交點
故當a＞0時，函數(shù)y=F（x）-2有4個零點．所以④正確，
故答案為：②③④

點評 本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，運用圖象解決問題，對于函數(shù)式子與性質(zhì)的結(jié)合，關鍵是理解，屬于難題．