Question

17．若三點A（2，2），B（a，0），C（0，b）（a＞0，b＞0）共線，則2a+3b的取值范圍為$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由三點共線可得即$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$=1，整體代入可得2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$），由基本不等式可得2a+3b的取值范圍．

解答 解：∵三點A（2，2），B（a，0），C（0，b）（a＞0，b＞0）共線，
∴$\frac{0-2}{a-2}$=$\frac{b-2}{0-2}$，
即$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$=1，
∵a＞0，b＞0，
∴2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$）=4+6+$\frac{4a}$+$\frac{6b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{4a}•\frac{6b}{a}}$=10+4$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4a}$=$\frac{6b}{a}$取等號，
故2a+3b的取值范圍為：$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．
故答案為：$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．

點評 本題考查三點共線和基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．