Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy建立在湖泊的某一恰當(dāng)位置，現(xiàn)準(zhǔn)備在湖泊的一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段MD是以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓弧，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），x∈[4，8]時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B(5，

8

3

)
（Ⅰ）求函數(shù)y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂(lè)園OEPF，其中折線(xiàn)FPE為水上賽艇線(xiàn)路，問(wèn)點(diǎn)P落在圓弧MD上何處時(shí)賽艇線(xiàn)路最長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（I）函數(shù)y=f（x）的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間距離，求出函數(shù)周期，得到ω，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，求出φ，然后求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得OD，再連接OP，設(shè)賽艇線(xiàn)路長(zhǎng)為L(zhǎng)．利用三角函數(shù)表示出來(lái)L，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得L 有最大值即可解決問(wèn)題．

解答：解：（I）對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ），
由圖象知，A=

8

3

，ω=

2π

T

=

2

4(8-5)

=

π

6

 …（3分）
將B(5，

8

3

) 代入到y=

8

3

sin(

π

6

x+φ) 中，得

5π

6

x+φ=2kπ+

π

2

，(k∈Z)，又|φ|＜

π

2

，
所以φ=-

π

3

，故y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) …（7分）
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得D(4，

4 3

3

) 
∴OD=

8 3

3

 …（9分）
連接OP，設(shè)∠EOP=θ，θ∈[

π

6

，

π

2

)，則P(

8 3

3

cosθ，

8 3

3

sinθ) 
設(shè)賽艇線(xiàn)路長(zhǎng)為L(zhǎng)．
則L=PE+PF=

8 3

3

cosθ+

8 3

3

sinθ=

8 6

3

sin(θ+

π

4

) …（12分）
當(dāng)θ=

π

4

 時(shí)L 有最大值

8 6

3

，此時(shí)P(

4 6

3

，

4 6

3

)．…（14分）
所以當(dāng)P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(

4 6

3

，

4 6

3

) 時(shí)賽艇線(xiàn)路最長(zhǎng)．′…（15分）

點(diǎn)評(píng)：題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意周期的應(yīng)用，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，同時(shí)注意角的范圍，以及角的變換的技巧，是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．