Question

【題目】已知橢圓的短軸長為2，離心率，

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，與圓相切于點，

①證明：（其中為坐標原點）；

②設，求實數的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②

【解析】

(1)由題意可列出三個關于的方程：，解方程后即可得橢圓方程；

(2)①根據圓心到直線的距離等于圓的半徑，得與的等量關系，要證明，只需證明即可，從而將數量積轉化為坐標運算，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理消去坐標，得到關于的代數式，再利用前面與的等量關系即可達到目的；

②直線與橢圓交于不同的兩點，將代入橢圓的方程得，再由圓的垂徑定理可得，結合得到，由的范圍可求得實數的取值范圍.

解（1）∵∴

又

∴

∴橢圓的方程為

①∵直線與相切

∴，即

由消去得

設

則

∵

∴.

②∵直線與橢圓交于不同的兩點，

∴

∴

由(2)①知

∴即

∴

又

∴的取值范圍為.