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15.定義運(yùn)算|ac5xbnbnb|=ad-bc,若函數(shù)f(x)=|2sinxcosx2cosx3cosx|+m(x∈R,m為實(shí)常數(shù)).當(dāng)x∈[-\frac{π}{6}\frac{π}{6}]時,f(x)的最大值和最小值之和為3.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到y(tǒng)=sinx的圖象?

分析 (1)根據(jù)定義,求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的最值之間的關(guān)系建立方程求出m的值即可得到結(jié)論.
(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)由定義得f(x)=|\begin{array}{l}{2sinx}&{-cosx}\\{2cosx}&{\sqrt{3}cosx}\end{array}|+m=2\sqrt{3}sinxcosx-2cos2x+m=\sqrt{3}sin2x-cos2x+m-1=2sin(2x-\frac{π}{6})+m-1,
當(dāng)∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{6}]時,2x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}],2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{6}],
即當(dāng)2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}時,函數(shù)f(x)取得最小值為-2+m-1=m-3,
當(dāng)2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}時,函數(shù)取得最大值為y=2sin\frac{π}{6}+m-1=m,
∵當(dāng)x∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{6}]時,f(x)的最大值和最小值之和為3.
∴m-3+m=3,即2m=6,m=3,
則f(x)=2sin(2x-\frac{π}{6})+3-1=2sin(2x-\frac{π}{6})+2.
(2)將f(x)的同學(xué)沿著y軸向下平移2個單位得到y(tǒng)=2sin(2x-\frac{π}{6}),然后橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}得到y(tǒng)=sin(2x-\frac{π}{6})=sin2(x-\frac{π}{12}) 然后沿著x軸向左平移\frac{π}{12}個單位得到y(tǒng)=sin2x. 然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2},即得到y(tǒng)=sinx.

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)圖象變換以及函數(shù)最值的應(yīng)用,根據(jù)定義求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出m的值是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

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