Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（Ⅲ）試問：在線段AC上是否存在一點P，使得直線PF與AD所成角為60°？

Answer 1

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,             1分
∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，                     2分
∴AM∥OE.                                      
∵平面BDE， 平面BDE，            4分
∴AM∥平面BDE.                           
(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，                              6分
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           
在RtΔASB中，
∴                   
∴二面角A—DF—B的大小為60º.                8分
（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，
∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，            
∴PQ⊥QF.                                    9分 
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.
∵ΔPAQ為等腰直角三角形，
∴                          10分
又∵ΔPAF為直角三角形，
∴，
∴                 
所以t=1或t=3(舍去)
即點P是AC的中點.                           12分
方法二（ 仿上給分）
（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。

設，連接NE，
則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,

又點A、M的坐標分別是
（）、（

∴NE∥AM.
又∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

又∵PF和AD所成的角是60º.
∴
解得或（舍去），
即點P是AC的中點.

解析