【題目】已知橢圓:
的離心率為
,左右頂點(diǎn)分別為
,
,右焦點(diǎn)為
,
為橢圓上異于
,
的動(dòng)點(diǎn),且
面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與
軸交于
點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作
的平行線交
軸與點(diǎn)
,試探究是否存在定點(diǎn)
,使得以
為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)
.
【答案】(1);(2)存在.
【解析】
(1)由當(dāng)在
軸時(shí),
面積最大,得
,然后結(jié)合
求解即可;
(2)先設(shè),求出點(diǎn)
,
的坐標(biāo),然后求出以
為直徑的圓的方程,再結(jié)合
在橢圓上,代入方程整理得圓的方程為
,然后令
,求解即可.
解:(1)由題意知,當(dāng)在
軸時(shí),
面積最大,
所以①,
又②,
聯(lián)立①②,得,
,
,
所以橢圓的方程為
.
(2)設(shè),其中
,則
,
,
所以直線的方程為
,
令,得
,即
,
又,所以直線
的方程為
,
令,得
,即
,
所以,以為直徑的圓的方程為:
,
又,
且在橢圓上,
所以,
代入方程整理得圓的方程為
,
令,
則,
所以存在點(diǎn),使得以
為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊與直角梯形
所在的平面互相垂直,且
,
,
,
.
(1)證明:直線平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
為
的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性,設(shè)
的最小值為
,并求證:
(2)若有三個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果(以下簡(jiǎn)稱水果),購(gòu)入價(jià)為300元/袋,并以360元/袋的價(jià)格售出,若前8小時(shí)內(nèi)所購(gòu)進(jìn)的
水果沒(méi)有售完,則批發(fā)商將沒(méi)售完的
水果以220元/袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),2小時(shí)內(nèi)完全能夠把
水果低價(jià)處理完,且當(dāng)天不再購(gòu)入).該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計(jì)了100天
水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
記表示
水果一天前8小時(shí)內(nèi)的銷售量,
表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營(yíng)
水果的利潤(rùn),
表示水果批發(fā)商一天批發(fā)
水果的袋數(shù).
(1)若,求
與
的函數(shù)解析式;
(2)假設(shè)這100天中水果批發(fā)商每天購(gòu)入水果15袋或者16袋,分別計(jì)算該水果批發(fā)商這100天經(jīng)營(yíng)
水果的利潤(rùn)的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),每天應(yīng)購(gòu)入
水果15袋還是16袋?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動(dòng),加強(qiáng)校園安全教育宣傳,某高中對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識(shí)測(cè)試(滿分100分),并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī),經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表,并繪制了得分在以及
的莖葉圖,分別如圖23所示.
成績(jī) | |||||||
頻數(shù) | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
圖1
(1)求這200名同學(xué)得分的平均數(shù);(同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表)
(2)如果變量滿足
且
,則稱變量
“近似滿足正態(tài)分布
的概率分布”.經(jīng)計(jì)算知樣本方差為210,現(xiàn)在取
和
分別為樣本平均數(shù)和方差,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布
的概率分布”,則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的,否則視為不成功.試判斷該校的安全教育是否成功,并說(shuō)明理由.
(3)學(xué)校決定對(duì)90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),為了體現(xiàn)趣味性,采用抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行,其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),低于94的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為:
獎(jiǎng)金 | 50 | 100 |
概率 |
現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué),記其獲獎(jiǎng)金額為,以樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面
是邊長(zhǎng)為2的正方形,
平面
,
,
分別是棱
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,求平面
將三棱錐
分成的兩部分的體積中較大部分的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,圓
:
,一動(dòng)圓在
軸右側(cè)與
軸相切,同時(shí)與圓
相外切,此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線
,橢圓
與曲線
有相同的焦點(diǎn).
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)曲線與橢圓
相交于第一象限點(diǎn)
,且
,求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)在(2)的條件下,如果橢圓的左頂點(diǎn)為
,過(guò)
且垂直于
軸的直線與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),直線
,
與直線
:
分別交于
,
兩點(diǎn),證明:四邊形
的對(duì)角線的交點(diǎn)是橢圓
的右頂點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為
,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,
為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線
,
的斜率分別為
,
,當(dāng)
時(shí),
的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“難度系數(shù)”反映試題的難易程度,難度系數(shù)越大,題目得分率越高,難度也就越。“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為,其中,
為難度系數(shù),
為樣本平均失分,
為試卷總分(一般為100分或150分).某校高三年級(jí)的李老師命制了某專題共5套測(cè)試卷(每套總分150分),用于對(duì)該校高三年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試.測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù),如下表所示:
試卷序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度系數(shù) | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
測(cè)試后,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:
試卷序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測(cè)平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根據(jù)試卷2的難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分;
(2)從抽樣的50名學(xué)生的5套試卷中隨機(jī)抽取2套試卷,記這2套試卷中平均分超過(guò)96分的套數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差.設(shè)為第
套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù),并定義統(tǒng)計(jì)量
,若
,則認(rèn)為本專題的5套試卷測(cè)試的難度系數(shù)預(yù)估合理,否則認(rèn)為不合理.試檢驗(yàn)本專題的5套試卷對(duì)難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.
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