Question

在平面直角坐標(biāo)系x Oy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，直線(xiàn)l：x-my-1=0（m∈R）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于 A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)D（

5

2

，0），連結(jié) BD，過(guò)點(diǎn) A作垂直于y軸的直線(xiàn)l₁，設(shè)直線(xiàn)l₁與直線(xiàn) BD交于點(diǎn) P，試證明：點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為4．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線(xiàn),圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題設(shè)可得

c=1 c a = 1 2

，解得c，a的值，可得b²，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y軸，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y1，從而只要證明P（4，y₁）在直線(xiàn)BD上．由

x-my-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，由△=144（1+m²）＞0，可解得k_DB-k_DP=0，即可證明點(diǎn)P（4，y₁）恒在直線(xiàn)BD上，從而求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4．

解答： 解：（1）由題設(shè)，可得

c=1 c a = 1 2

，解得

c=1 a=2

從而b²=a²-c²=3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y軸，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y1，從而只要證明P（4，y₁）在直線(xiàn)BD上．
由

x-my-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，可得（4+3m²）y²+6my-9=0
∵△=144（1+m²）＞0，
∴y₁+y₂=

-6m

4+3m2

，y₁y₂=

-9

4+3m2

①
∵k_DB-k_DP=

y2-0

x2- 5 2

-

y1-0

4- 5 2

=

y2

my2+1- 5 2

-

y1

3 2

=

3 2 y2-y1(my2- 3 2 )

3 2 (my2- 3 2 )

=

y1+y2- 2 3 my1y2

my2- 3 2

①式代入上式，可得k_DB-k_DP=0，
所以點(diǎn)P（4，y₁）恒在直線(xiàn)BD上，
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．