Question

若函數f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，若f（a²-6）+f（a）＞0，則實數a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-2）∪（3，+∞）

B．（-2，3）

C．（-∞，-3）∪（2，+∞）

D．（-3，2）

Answer 1

分析：由f（x）的解析式，可以判定f（x）是R上的奇函數，且是減函數；從而化簡f（a²-6）+f（a）＞0，得到關于a的一元二次不等式，求出a的取值范圍；

解答：解：∵函數f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，
∴當x＞0時，-x＜0，∴f（x）=x²+2x=-（-x²-2x）=-[2（-x）-（-x）²]=-f（-x）；
當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=2x-x²=-（x²-2x）=-[（-x）²+2（-x）]=-f（-x）；
且f（0）=0，
∴f（x）是R上的奇函數；
又f（1）=3，f（-1）=-3，
∴f（x）是R上的增函數；
由f（a²-6）+f（a）＞0，
得f（a²-6）＞-f（a），
又-f（a）=f（-a），
∴f（a²-6）＞f（-a），
∴a²-6＞-a，
解得a＜-3，或a＞2；
∴a的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）；
故選：C．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的判定以及不等式的解法問題，是易錯題．