(2013•深圳二模)如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
3
2
,經(jīng)過(guò)橢圓E的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線l與圓C:x2+(y-2b)2=
27
4
相切.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在圓C與橢圓E上運(yùn)動(dòng),求|PQ|取得最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
分析:(1)由題意得
c
a
=
3
2
,再由c2=a2-b2得a=2b,c=
3
b,由截距式可直線l的方程,根據(jù)l與圓相切得d=r,由此可求得b值,進(jìn)而得a值;
(2)連接PQ,CP,CQ,則有|PQ|≤|CP|+|CQ|=
3
3
2
+|CQ|
,易知當(dāng)P,C,Q三點(diǎn)共線且P,Q在C異端時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)|CQ|取得最大值時(shí),|PQ|取得最大值,設(shè)Q(x0,y0),得
x02
4
+y02=1
,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求|CQ|=
x02+(y0-2)2
=
4-4y02+(y0-2)2
取得最大值時(shí)y0的值,代入橢圓方程可得x0,即得|PQ|取得最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)依題意得e=
c
a
=
3
2
,c2=a2-b2,解得a=2b,c=
3
b,
所以A(0,-b),F(xiàn)(
3
b,0),
所以直線l的方程為:
x
3
b
+
y
-b
=1
,即x-
3
y-
3
b=0,
因?yàn)橹本l與圓C:x2+(y-2b)2=
27
4
相切,
所以
|0-2
3
b-
3
b|
2
=
3
3
2
,解得b=1,a=2,
所以橢圓E的方程為:
x2
4
+y2=1

(2)連接PQ,CP,CQ,則有|PQ|≤|CP|+|CQ|=
3
3
2
+|CQ|
(當(dāng)且僅當(dāng)P,C,Q三點(diǎn)共線且P,Q在C異端時(shí)等號(hào)成立),
所以當(dāng)|CQ|取得最大值時(shí),|PQ|取得最大值,
設(shè)Q(x0,y0),得
x02
4
+y02=1

又C(0,2),則|CQ|=
x02+(y0-2)2
=
4-4y02+(y0-2)2
=
-3(y0+
2
3
)2+
28
3
,
因?yàn)閥0∈[-1,1],-1<-
2
3
<1,所以當(dāng)y0=-
2
3
時(shí)|CQ|取得最大值,
y0=-
2
3
代入
x2
4
+y2=1
中,解得x0
2
5
3

所以|PQ|取得最大值時(shí),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(±
2
5
3
,-
2
3
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓與橢圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系,兩點(diǎn)距離公式,二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解、轉(zhuǎn)化與化歸以及分析與解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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π3
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a1+a2+a3+…+an
n
.若非空數(shù)集B滿足下列兩個(gè)條件:
①B⊆A;
②E(B)=E(A),則稱(chēng)B為A的一個(gè)“保均值子集”.
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1
i
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lg(2-x)
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