19．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)．
（1）求證：A1C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

分析 （1）連AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連EO，則A1C∥EO，由此能證明A1C∥平面BDE．
（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，由此能求出二面角E-BD-A的正切值．

解答 證明：（1）連AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連EO
∵E是AA1的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，∴A1C∥EO，
又EO?面BDE，AA1?面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）
解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，
∴∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，
在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角E-BD-A的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．若實(shí)數(shù)a，b，c同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①（b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$）2+[c-m（a2+a-m2-m）]2=0；
②對任意的a∈R，b＜0或c＜0；
③存在a∈（-∞，-1），使得bc＜0．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A．（-2，0）B．（-2，-1）C．（-3，-2）D．（-4，-2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．函數(shù)y=sin（πx+$\frac{π}{3}$）的最小正周期為（　�。�
A．2B．πC．$\frac{π}{2}$D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)且滿足f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），若x∈（0，3）時(shí)，f（x）=log2（3x+1），則f（2015）=（　�。�
A．4B．-2C．2D．log27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：
API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300
空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染輕度污染中度污染重度污染
天數(shù)61418272015
（Ⅰ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30 天是在供暖季，其中有8 天為嚴(yán)重污染．根據(jù)提
供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的
空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”？
非重度污染嚴(yán)重污染合計(jì)
供暖季22830
非供暖季63770
合計(jì)8515100
（Ⅱ）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x 的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月（按30 天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．正三棱錐V-ABC的底面邊長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是VA，VB，BC，AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．方程sin（2x-$\frac{π}{4}$）=|lgx|根的個(gè)數(shù)等于6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．一個(gè)棱長為$\root{3}{6}$的正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則此剩余部分的體積為5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若P（1，2），求|PA|+|PB|的值．

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