Question

設(shè)函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）證明f（x）是奇函數(shù)；
（3）試問在x∈[-3，3]時f（x）是否有最大、最小值？如果有，請求出來，如果沒有，說明理由；
（4）解不等式

1

2

f(x2)-f(x)＞

1

2

f(3x)．

Answer 1

分析：（1）先利用賦值法求出f（0）的值，
（2）欲證明f（x）是奇函數(shù)，即證明f（x）+f（-x）=0，再在題中條件中令y=-x即得；
（3）先利用單調(diào)性的定義證明（x）在R上是減函數(shù)，任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，證明即f（x₁）＞f（x₂），；再利用此結(jié)論得f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值為f（3）．故只要求出f（3）和f（-3）即可．
（4）由

1

2

f(x2)-f(x)＞

1

2

f(3x)，f（x²）-f（3x）＞2f（x），由已知得：f[2（x）]=2f（x）∴f（x²-3x）＞f（2x），由（2）中的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x²-3x＜2x．最后按照二次不等式兩根的大小解不等式即可．

解答：證明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=f（0）．
又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（2）從而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂-x₁）]=-f（x₂-x₁）．
由x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴-f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
從而f（x）在R上是減函數(shù)．
由于f（x）在R上是減函數(shù)，
故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
最小值為f（3）．由f（1）=-2，
得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴最大值為6，最小值為-6．
（4）由

1

2

f(x2)-f(x)＞

1

2

f(3x)，f
（x²）-f（3x）＞2f（x），
由已知得：f[2（x）]=2f（x）∴f（x²-3x）＞f（2x），
由（2）中的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x²-3x＜2x．即x²-5x＜0，
∴x∈（0，5）．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．