Question

設(shè)定義域都為[

2

，8]的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其解析式分別為f（x）=log₂^x-2和g（x）=log₄^x-

1

2

（1）求函數(shù)y=f（x）的最值；
（2）求函數(shù)G（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求函數(shù)的最大最小值；
（2）利用換元法求函數(shù)的值域，注意自變量的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=log2x在x∈[

2

，8]上單調(diào)遞增函數(shù)…（2分）
∴log2

2

≤log2x≤log28，即log2x∈[

1

2

，3]…（4分）
∴log2x-2∈[-

3

2

，1]…（5分）
∴函數(shù)f（x）的值域是[-

3

2

，1]；
故函數(shù)f（x）的最小值是-

3

2

，最大值是1；
（2）G（x）=（log₂x-2）（log₄-

1

2

）
=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)

=

1

2

[(log2x)2-3log2x+2]…（8分）
令t=log2x，x∈[

2

，8]，t∈[

1

2

，3]…（10分）
∴y=

1

2

(t2-3t+2)，t∈[

1

2

，3]
∴y=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，t∈[

1

2

，3]
∴t=

3

2

時，y取最小值，ymin=-

1

8

…（11分）
t=3時，y取最大值，y_max=1…（12分）
∴G(x)的值域?yàn)閇-

1

8

，1]…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)最值得求法，屬于基礎(chǔ)題．