Question

14．四面體ABCD滿足：棱CD?平面α，三條棱AB，AC，AD兩兩垂直且相等，E為棱BC的中點，如圖所示，當(dāng)四而體ABCD繞CD旋轉(zhuǎn)時，直線AE與平面α所成角的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 取CD的中點O為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則α的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設(shè)平面BCD與平面α所成的二面角為θ，AB=AC=AD=2，用θ表示出$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)，利用三角恒等變換計算|cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{n}$＞|的最大值即可得出線面角的最大值．

解答 解：取CD的中點O，在平面α內(nèi)過O作y軸⊥CD，作z軸⊥平面α，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
作EM⊥CD，垂足為M，
設(shè)平面BCD與平面α所成的二面角為θ，AB=AC=AD=2，
則AO=AE=$\sqrt{2}$，BO=$\sqrt{6}$，EM=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．OM=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sin∠AOB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ），A（0，-$\sqrt{2}$cos（θ+∠AOB），$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB））．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ+$\sqrt{2}$cos（θ+∠AOB），$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ-$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB））．
∵$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面α的一個法向量，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ-$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$sinθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（θ+φ）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（θ+φ）．
∴AE與平面α所成角的正弦值最大為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AE與平面α所成角的最大值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了空間向量的應(yīng)用與線面角的計算，屬于中檔題．