Question

7．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，b_n=lga_n，則S₉₉的值是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 利用兩邊取倒數(shù)將遞推公式化簡變形為：$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，利用等差數(shù)列的定義和通項公式可得a_n，代入b_n=lga_n利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，利用“裂項相消法”求出S_n，即可得到答案．

解答 解：∵a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)得，$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列，且首項為1、公差為1，
則$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+n-1=n，解得a_n=$\frac{n+1}{n}$，
∴b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，
∴S_n=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+[（lgn-lg（n-1）]+[lg（n+1）-lgn）
=lg（n+1）-lg1=lg（n+1），
∴S₉₉=lg100=2．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式化簡及應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，等差數(shù)列的定義和通項公式，以及利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和，考查化簡、變形能力．