已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-bx(a,b∈R),g(x)=
2x-2
x+1
-lnx
(I)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;
(II)設(shè)x1,x2是函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1<x2求證
2
x1+x2
<a(x1+x2)+b.
分析:(I)由題意把a(bǔ)=-1代入f(x),然后分別對f(x),g(x)求導(dǎo),得出f(x)為定義域上的單調(diào)遞增,得出f′(x)≥0,利用變量分離法求出b的范圍;
(II)由題意x1,x2是函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),可得f(x1)=f(x2)-0,得出x1,x2與a,b的式子,然后進(jìn)行化簡,再利用g(x)=
2x-2
x+1
-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,和
x1
x2
<1
,進(jìn)行證明.
解答:解:(I)∵a=-1,∴f(x)=lnx+x2-bx
由題意可知,f(x)與g(x)的定義域均為(0,+∞)
∵g′(x)=
2(x+1)-(2x-2)
(x+1)2
-
1
x
4
(x+1)2
-
1
x
=
-x2+2x-1
x(x+1)2
=-
(x-1)2
x(x+1)2
≤ 0

∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
又a=-1時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反
∴f(x)=lnx-ax2-bx在(0,+∞)上單調(diào)遞增
∴f′(x)=
1
x
+2x-b≥0,對x∈(0,+∞)恒成立,
即b≤
1
x
+2x對x∈(0,+∞)恒成立,
∴只需b≤(
1
x
+2x
)max,
∵x>0∴
1
x
+2x
≥2
2
(當(dāng)且僅當(dāng)x=
2
2
時(shí),等號成立)
∴b≤2
2
,∴b的取值范圍(-∞,2
2
);
(II)由已知可得
f(x1)=lnx1- a
x
1
2
 -bx1=0
f(x2)=lnx2- a
x
2
2
 bx2=0

lnx1=a
x
2
1
 +bx1
lnx2= a
x
2
2
 +bx2
ln
x1
x2
= a(x1+x2)(x1-x2) +b(x1-x2)

ln
x1
x2
= (x1-x2)[a(x1+x2) +b]
∴a(x1+x2)+b=
1
x1-x2
ln
x1
x2

從而
2
x1+x2
-[a(x1+x2)+b]  =
2
x1+x2
-
1
x1-x2
ln
x1
x2

=
1
x1-x2
[
2(x1-x2
x1+x2
-ln
x1
x2
]

=
1
x1-x2
[-
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
-ln
x1
x2
]
,
∵g(x)=
2x-2
x+1
-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且
x1
x2
<1

∴當(dāng)0<t<1時(shí),g(t)>g(1)=0
2(x1-x2)
x1+x2
-ln
x1
x2
>0
,
1
x1-x2
< 0
,
2
x1+x2
-[a(x1+x2)+b] <0
2
x1+x2
<a(x1+x2) +b

即證.
點(diǎn)評:此題主要考查了導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)單調(diào)性問題的應(yīng)用,綜合性比較強(qiáng),第二問的化簡很關(guān)鍵,要往所求的不等式兩邊的式子作為方向進(jìn)行化簡.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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