設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P,且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為24x+y-12=0,若函數(shù)在x=2處取得極值為-16.
(1)求函數(shù)解析式;
(2)確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)證明:當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),y<92.5.
分析:(1)要確定解析式,即求a,b,c,d這四個(gè)參數(shù),由f′(0)=c,且切線24x+y-12=0可解得c,把x=0代入24x+y-12=0可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為解d,再由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值-16,解得a,b,從而求得解析式;
(2)利用f′(x)<0,確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;利用f′(x)>0,確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)利用導(dǎo)數(shù)確定當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),函數(shù)的最大值,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:求導(dǎo)函數(shù),可得由y′=3ax2+2bx+c,∴f′(0)=c,
∵切線24x+y-12=0的斜率k=-24,∴c=-24,
把x=0代入24x+y-12=0得y=12,∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,12),由此得d=12,
∴f(x)即可寫成f(x)=ax3+bx2-24x+12.
由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值-16,則得
-16=8a+4b-36
0=12a+4b-24

解得a=1,b=3.
∴f(x)=x3+3x2-24x+12,
(2)解:f′(x)=3x2+6x-24.
令f′(x)<0,得-4<x<2;令f′(x)>0,得x<-4或x>2.
∴函數(shù)遞減區(qū)間為(-4,2),遞增區(qū)間為(-∞,-4),(2,+∞).
(3)證明:由(2)知當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),x=-4是函數(shù)的極大值點(diǎn),且是唯一的極值點(diǎn),所以x=-4時(shí)的函數(shù)值是函數(shù)的最大值.
∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),函數(shù)的最大值為92
∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),y<92.5.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的極值點(diǎn),導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬中檔題.
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[  ]

A.(1,2)

B.(-∞,1)

C.(2,+∞)

D.(-2,-1)

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  1. A.
    (1,2)
  2. B.
    (-∞,1)
  3. C.
    (2,+∞)
  4. D.
    (-2,-1)

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