Question

f（x）滿足對一切實數(shù)，恒有f（x）+f（-x）=x²且在（-∞，0）上單調(diào)遞增，若f（2-a）-f（a）＞2-2a，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件可令f（x）=g（x）+kx²，求出k，及g（x）的奇偶性，再由f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，通過導數(shù)求得g（x）的單調(diào)性，再由f（2-a）-f（a）＞2-2a，即為f（2-a）-

(2-a)2

2

＞f（a）-

a2

2

，即有g(shù)（2-a）＞g（a），通過單調(diào)性即可解得a的范圍．

解答： 解：由于f（x）+f（-x）=x²，
可令f（x）=g（x）+kx²，
即有g(shù)（x）+kx²+g（-x）+kx²=x²恒成立，
則2k=1，g（-x）+g（x）=0，
則有k=

1

2

，g（x）為奇函數(shù)．
即有g(shù)（x）=f（x）-

1

2

x²，
當x＜0時，g′（x）=f′（x）-x，由f（x）遞增，
則f′（x）＞0，g′（x）＞0，
則有g(shù)（x）在x＜0遞增，且g（0）=0，
由于g（x）為奇函數(shù)，則g（x）在R上遞增．
f（2-a）-f（a）＞2-2a，即為
f（2-a）-

(2-a)2

2

＞f（a）-

a2

2

，
即有g(shù)（2-a）＞g（a），
則有2-a＞a，解得a＜1，
故a的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用解不等式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x²，求出單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．