Question

14．命題p：A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}且A∩R⁺=∅；命題q：α：|x-$\frac{3}{2}$|＜$\frac{7}{2}$，β：m+1＜x＜2m-1，α是β的必要非充分條件．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題p和命題q中有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出p為真時的m的范圍即可；（2）求出q為真時的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）命題p：A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}且A∩R⁺=∅，
故p為真時滿足$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m+2）}^{2}-4≥0}\\{-（m+2）≤0}\end{array}\right.$，
解得：m≥0；
（2）命題q：α：|x-$\frac{3}{2}$|＜$\frac{7}{2}$，∴-2＜x＜5，
而β：m+1＜x＜2m-1，α是β的必要非充分條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞-2}\\{2m-1＜5}\end{array}\right.$，解得：-3＜m＜3，
若命題p和命題q中有且只有一個是真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m≥3或m≤-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-3＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得：m≥3或-3＜m＜0．

點評 本題考查了充分必要條件，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及解不等式組問題，是一道中檔題．