Question

設(shè)G，M分別為不等邊三角形ABC的重心和外心，A（-1，0），B（1，0），且

GM

∥

AB

（1）求點(diǎn)C的軌跡P的方程；
（2）是否存在直線L過(guò)點(diǎn)（0，1），并與曲線P交于R，T兩點(diǎn)，且滿足

OR

•

OT

=0，若存在，求出直線L的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：

分析：（1）可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由重心坐標(biāo)的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y），再由外心M在AB的垂直平分線上，而AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標(biāo)為零，則可設(shè)外心坐標(biāo)M（0，b），由GM∥AB可得M（0，

1

3

y），由外心定義，CM=AM=BM，AM已經(jīng)等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可，代入距離公式可求點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）假設(shè)存在直線l滿足條件，設(shè)直線l方程為y=kx+1，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由

OR

•

OT

=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求k，即可求出直線L的方程．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y）（xy≠0），則
由重心坐標(biāo)的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分線上，顯然AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標(biāo)為零；
設(shè)外心坐標(biāo)M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就確定了外心坐標(biāo)M（0，

1

3

y）
由外心定義，CM=AM=BM，AM已經(jīng)等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x²+（y-

1

3

y）²=（-1-0）²+（

1

3

y）²，
整理可得點(diǎn)C的軌跡方程為x²+

y2

3

=1（xy≠0）；
（2）假設(shè)存在直線l滿足條件，設(shè)直線l方程為y=kx+1，
與x²+

y2

3

=1聯(lián)立，消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直線l與曲線P交于R，T兩點(diǎn)兩點(diǎn)，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
設(shè)PRx₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

3+k2

，x₁x₂=-

2

3+k2

，
∵

OR

•

OT

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，（1+k²）（-

2

3+k2

）+k（-

2k

3+k2

）+1=0
解得k²=

1

3

，∴k=±

3

3

故存在直線l：y=±

3

3

+1，使得

OR

•

OT

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外心與重心性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)的軌跡方程的求解，直線與橢圓相交關(guān)系中的方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及一定的推理與運(yùn)算的能力的考查，具有一定的綜合性．