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在某海濱城市附近海面有一臺風,據監(jiān)測,當前臺風中心位于城市O(如圖)的東偏南 θ(cosθ=
2
10
)
方向300km的海面P處,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動,臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大,問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲?受到臺風的侵襲的時間有多少小時?
分析:建立坐標系,設在時刻:t(h)臺風中心P(x,y)的坐標進而可知此時臺風侵襲的區(qū)域,根據題意可知其中r(t)=10t+60,若在t時,該城市O受到臺風的侵襲,則有(0-x)2+(0-y)2≤(10t+60)2,進而可得關于t的一元二次不等式,求得t的范圍,答案可得.
解答:解:如圖建立坐標系:以O為原點,正東方向為x軸正向.
在時刻:t(h)臺風中心P(x,y)的坐標為
x=300×
2
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-20×
2
2
t,y=-300×
7
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+20×
2
2
t
令(x′,y′)是臺風邊緣線上一點,則此時臺風侵襲的區(qū)域是(x′-x)2+(y′-y)2≤[r(t)]2
其中r(t)=10t+60,
若在t時,該城市受到臺風的侵襲,
則有(0-x)2+(0-y)2≤(10t+60)2,
即(300×
2
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-20×
2
2
t)2+-300×
7
2
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+20×
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t)2≤(10t+60)2,即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24.
答:12小時后該城市開始受到臺風氣侵襲,受到臺風的侵襲的時間有12小時.
點評:本題主要考查了圓的方程的綜合運用,考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力,屬于中檔題.
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