Question

2．已知函數(shù)f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用分母不等于0，即可求f（x）的定義域；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，討論f（x）的奇偶性；
（3）證明x＞0時，f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）＞0，結(jié)合f（x）是偶函數(shù)，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由3^x-1≠0，可得x≠0，
∴f（x）的定義域是{x|x≠0}；
（2）f（x）=x•$\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{x}-1}$，
∴f（-x）=-x•$\frac{{3}^{-x}+1}{{3}^{-x}-1}$=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（3）證明：x＞0時，3^x-1＞0，
∴f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）＞0，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）＞0．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．