Question

某校一次數學研究性學習活動中，一個密封的箱子內裝有分別寫上y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個函數的六張外形完全一致的卡片（一張卡片一個函數），參與者有放回的抽取卡片，參與者只參加一次．如果只抽一張，抽得卡片上的函數是其它某一張卡片上函數的導數，抽取者將獲得三等獎；如是先后各抽一張，抽出的卡片中，其中一張上的函數是另一張卡片上函數的導數，抽取者將獲得二等獎；如果先后各抽一張，第一張卡片上的函數的導數是第二張卡片上的函數，抽取者將獲得一等獎．
（Ⅰ）求學生甲抽一次獲得三等獎的概率；
（Ⅱ）求學生乙抽一次獲得二等獎的概率；
（Ⅲ）求學生丙抽一次獲得一等獎的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在所給的六個函數中，有y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

這三個函數可作為其它函數的導數，由此求得學生甲抽一次獲得三等獎的概率．
（Ⅱ）在六個函數的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．其中，有7種抽法滿足得二等獎的要求，由此求得學生乙抽一次獲得二等獎的概率．
（Ⅲ）在六個函數的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．其中，有4種抽法滿足得一等獎的要求，由此求得學生丙抽一次獲得一等獎的概率．

解答：解：（Ⅰ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個函數中，y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

這三個函數可作為其它函數的導數．
設“學生甲抽一次獲得三等獎”為事件A，∴P(A)=

3

6

=

1

2

．…4分
（Ⅱ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個函數的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種，
其中，y=sinx，y=cosx組合兩種，y=e^x，y=e^x組合一種，y=

1

x

，y=-

1

x2

組合兩種，lnx，y=

1

x

組合兩種，共計7種都滿足得二等獎的要求．
設“學生乙抽一次獲得二等獎”為事件B，∴P(B)=

7

36

．…8分
（Ⅲ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個函數的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．
其中，y=sinx，y=cosx組合1種，y=e^x，y=e^x組合1種，y=

1

x

，y=-

1

x2

組合1種，lnx，y=

1

x

組合1種，共計4種都滿足得一等獎的要求．
設“學生丙抽一次獲得一等獎”為事件C，∴P(C)=

4

36

=

1

9

．
答：甲乙丙三人各得三、二、一等獎的概率分別是

1

2

、

7

36

、

1

9

．…12分．

點評：本題考查古典概型及其概率計算公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．