Question

如圖，一個(gè)盛滿(mǎn)水的三棱錐容器，三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，且知道SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的

23

27

．

Answer 1

分析：由實(shí)際情況可以得到，當(dāng)DEF面與地面平行時(shí)，此時(shí)盛水最多，由此知，可求出不規(guī)則幾何體DEFABC的體積，此體積所點(diǎn)三棱錐S-ABC的比即為所求的正確答案．

解答：解：如右圖所示，過(guò)DE作與底面ABC平行的截面DEM，則M為SC的中點(diǎn)，F(xiàn)為SM的中點(diǎn)．過(guò)F作與底面ABC平行的截面FNP，則N，P分別為SD，SE的中點(diǎn)．
設(shè)三棱錐S-ABC的體積為V，高為H，S-DEM的體積為V₁，高為h，則

h

H

=

2

3

，

V1

V

=(

2

3

)3=

8

27

．
三棱錐F-DEM的體積與三棱錐S-DEM的體積的比是1：2（高的比），
∴三棱錐F-DEM的體積

4V

27

．三棱臺(tái)DEM-ABC的體積=V-V₁=

19V

27

，
∴最多可盛水的容積=

4V

27

+

19V

27

=

23V

27

．
故最多所盛水的體積是原來(lái)的

23

27

．
故答案為：

23

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱，棱錐，棱臺(tái)的體積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的體積公式及幾何體的結(jié)構(gòu)，將求不規(guī)則幾何體的體積變?yōu)榍髱讉�(gè)規(guī)則的幾何體的體積，分割法求體積是求不規(guī)則幾何體體積時(shí)常用的技巧