Question

已知P為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上的一點(diǎn)，B₁，B₂分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若△PB₁B₂的面積為6，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程，算出橢圓的短軸|B₁B₂|=2b=6．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由△PB₁B₂的面積為6，根據(jù)三角形面積公式建立關(guān)于m的等式，解出m=±2．再由點(diǎn)P在橢圓上解出n=±

3 3

2

，從而得到滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．

解答：解：∵橢圓

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4，b=3，
∴橢圓的短軸|B₁B₂|=2b=6．
設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）
∵△PB₁B₂的面積為6，
∴

1

2

|B₁B₂|•|m|=6，即

1

2

×6×|m|=6，解得m=±2．
將P（±2，n）代入橢圓的方程，得

4

16

+

n2

9

=1，解得n=±

3 3

2

．
因此，符合題意的點(diǎn)P為（2，±

3 3

2

）或（-2，±

3 3

2

），共4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的方程，已知橢圓上點(diǎn)P與短軸B₁B₂構(gòu)成面積為6的三角形，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．著重考查了三角形的面積公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．