Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A、B、F，且∠ABF=90°，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$

Answer 1

分析 利用橢圓的性質(zhì)用a，b，c表示出△ABF的邊長(zhǎng)，利用勾股定理列方程得出a，b，c的關(guān)系．

解答 解：由橢圓的定義可知|AF|=a+c，|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，|BF|=a
∵∠ABF=90°，
∴|AB|²+|BF|²=|AF|²，即a²+b²+a²=a²+c²+2ac，
∴a²+b²=c²+2ac．又b²=a²-c²，
∴a²-c²-ac=0，即（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1=0，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于中檔題．