Question

設(shè)有一組圓C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴（k∈N^*）．下列四個(gè)命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
其中真命題的代號(hào)是

 

（寫出所有真命題的代號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上，所以這條直線與所有的圓都相交，②正確；根據(jù)圖象可知這些圓互相內(nèi)含，不存在一條定直線與所有的圓均相切，不存在一條定直線與所有的圓均不相交，所以①③錯(cuò)；利用反證法，假設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，將（0，0）代入圓的方程，因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，假設(shè)錯(cuò)誤，則圓不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，④正確．

解答：解：根據(jù)題意得：圓心（k-1，3k），
圓心在直線y=3（x+1）上，故存在直線y=3（x+1）與所有圓都相交，選項(xiàng)②正確；
考慮兩圓的位置關(guān)系，
圓k：圓心（k-1，3k），半徑為

2

k²，
圓k+1：圓心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半徑為

2

（k+1）²，
兩圓的圓心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

=

10

，
兩圓的半徑之差R-r=

2

（k+1）²-

2

k²=2

2

k+

2

，
任取k=1或2時(shí)，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
若k取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
將（0，0）帶入圓的方程，則有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N*），
因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，選項(xiàng)④正確．
則真命題的代號(hào)是②④．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)將直線的參數(shù)方程化為普通方程，會(huì)利用反證法進(jìn)行證明，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題．