如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2，當AC垂直于x軸時，恰好有AF1：AF2＝3：1.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；(Ⅱ) 設.

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求的值；

②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是否

為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由.

（Ⅰ）   (Ⅱ) 6、略


解析:

（Ⅰ）設，則.由題設及橢圓定義得，

消去得，所以離心率.

(Ⅱ) 由(1)知，，所以橢圓方程可化為     .

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，，直線的方程為.

由得　，解得，

∴　點的坐標為.又，所以，，所以，.②當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6.

證明　設，，則.

若為橢圓的長軸端點，則或，

所以.若為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由得，，所以.

又直線的方程為，所以由得

.，

∴.由韋達定理得　，所以.　同理　.

∴.

綜上證得，當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6.

練習冊系列答案
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如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
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A．
B．
C．
D．

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（1）求橢圓的離心率；
（2）設P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

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（1）求橢圓的離心率；
（2）設P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

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