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3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足acosB=bcosA.
(Ⅰ)判斷△ABC的形狀;
(Ⅱ)求sinB+cosA+π6的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由正弦定理以及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得sin(A-B)=0,結(jié)合A,B的范圍,可求A=B,可得△ABC是等腰三角形.
(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得:sinB+cosA+π6=sinA+π3,由0Aπ2,可求范圍π3A+π35π6,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)由acosB=bcosA,
根據(jù)正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A-B)=0,
在△ABC中,有-π<A-B<π,
所以A-B=0,即A=B,
所以△ABC是等腰三角形.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),A=B,則sinB+cosA+π6=sinA+32cosA12sinA=12sinA+32cosA=sinA+π3
因?yàn)锳=B,所以0Aπ2,則π3A+π35π6,
所以12sinA+π31
于是sinB+cosA+π6的取值范圍是121].…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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乙:90 70 75 85 80
(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
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x3456
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