Question

已知函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，且f（2）=-．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：f（）=f（x）；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，∴
∴q=0，∴
∵f（2）=-，∴p=2
∴
（2）證明：∵
∴
∴f（）=f（x）；
（3）增函數(shù)
設(shè)x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
=-
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)增
分析：（1）利用函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，可得q=0，即，根據(jù)f（2）=-，可得p=2，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)，可得，從而有f（）=f（x）；
（3）增函數(shù)．設(shè)x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1），再作差，變形，從而定號下結(jié)論．
點評：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意掌握步驟：取值、作差、定號，下結(jié)論．