Question

把函數(shù)y=lnx-2的圖像按向量a=(-1，2)平移得到函數(shù)y=f(x)的圖像．

(Ⅰ)若x＞0，證明：f(x)＞；

(Ⅱ)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3時(shí)x∈[-1，1]和b∈[-1，1]都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)由題設(shè)得f(x)=ln(x+1) 

令g(x)=f(x)-=ln(x+1)-,則

∵x＞0,  ∴(x)＞0,

∴g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 

故g(x)＞g(0)=0,即f(x)＞. 

(Ⅱ)原不等式等價(jià)于x²-f(x²)≤m²-2bm-3.

令h(x)=x²-f(x²)=x²-ln(1+x²),則

h(x)=x-=. 

令h(x)=0,得x=0,x=1,x=-1.列表如下:

x	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1
h(x)	0	+	0	-	0
	極小值-ln2		極大值0		極小值-ln2

∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),h(x)_max=0.

∴m²-2bm-3≥0 

令Q(b)=-2mb+m²-3,則

解得m≤-3或m≥3.