Question

6．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cosα=$\frac{5}{13}$，sin（α-β）=$\frac{4}{5}$，則sinβ=$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可求范圍α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，cos（α-β）的值，利用角的關(guān)系式β=（β-α）+α及兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cosα=$\frac{5}{13}$，sin（α-β）=$\frac{4}{5}$，
∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=-sin（α-β）cosα+cos（α-β）sinα=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$．
故答案為：$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．