Question

【題目】已知函數(shù)（，）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意，恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）討論的范圍，得出的解的情況，從而得出的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得，令，求出的單調(diào)性和值域，從而可得出的范圍．

解法一：（1）依題意，，

令，，

①當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，由得，，

因?yàn)?/span>，所，設(shè)，，

則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由得，，記，則，

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，

所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恰有一個(gè)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，其中，，

所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，所以，

所以極大

極小，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，時(shí)，

所以對(duì)任意，恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于恒成立或恒成立.

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，

又，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，，

所以的值域?yàn)?/span>，的值域?yàn)?/span>，

即的值域?yàn)?/span>，的值域?yàn)?/span>，

所以，所以，

綜上，的取值范圍為.

解法二：（1）同解法一；

（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

所以取，則，取，則，

所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以；

（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，其中，，

，所以，

所以極大，

極小，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，+

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，

又，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，，

①當(dāng)時(shí)，，，

即，，所以當(dāng)時(shí)，，

在不存在零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，取，則，

又因?yàn)?/span>，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)；.

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，

所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，

即，則，

則，

所以在單調(diào)遞減，所以，

所以，即，

因?yàn)?/span>，，且在單調(diào)遞減，

所以，即，所以，

所以，因?yàn)?/span>，，，

所以存在，滿足，所以，，

所以