【題目】在平面直角坐標系中,橢圓:()的左、右焦點分別為,離心率為,以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 過點的直線與橢圓相交于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求直線的方程;
(3)求面積的最大值.
【答案】(1);(2)或;(3).
【解析】
試題分析:(1)離心率為即,以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切,即圓心到直線的距離,解得,,所以橢圓的方程為;
(2)①當直線的斜率為時,不符合題意;②當直線的斜率不為時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,消去,寫出根與系數(shù)關(guān)系,得,,由可得,,.所以直線方程為或;
(3)由(2)結(jié)合弦長公式、點到直線距離公式,可求得的表達式為,利用基本不等式求得最大值為.
試題解析:
(1)設(shè)橢圓方程為(),
∵離心率為,∴,即,又,∴.
∵以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切,
∴圓心到直線的距離,∴,.
∴橢圓的方程為
(2)由題意可設(shè)直線方程為
①當直線的斜率為0時,不符合題意;
②當直線的斜率不為0時,則直線方程為,
可設(shè),,由可得,得.
由得,由,
則,,
可得方程為,解得,.
∴直線方程為或.
(3)由(2)可得
當且僅當時“=”成立,即時,面積的最大值為2.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處,極軸與軸非負半軸重合,直線的參數(shù)方程為:為參數(shù)),曲線的極坐標方程為:.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且).
(1)當時,函數(shù)恒有意義,求實數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在這樣的實數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米時)是車流密度(單位:輛千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明:當時,車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的表達式;
(2)當車流密度為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/時)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差(用同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值用代表);
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)利用該正態(tài)分布,求;
(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求.
附:,若,則,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法:①若 (其中)是偶函數(shù), 則實數(shù);
②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);③若,當
時,,則;④已知是定義在上的不恒為零的函數(shù), 且對任意的
都滿足, 則是奇函數(shù)。其中所有正確命題的序號是
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2,則上、下底面的面積之比是 ( )
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
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