Question

設(shè)⊙C₁，⊙C₂，…，⊙C_n是圓心在拋物線y=x²上的一系列圓，它們圓心的橫坐標(biāo)分別記為a₁，a₂，…，a_n，已知a₁=，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，若⊙C_k（k=1，2，3，…，n）都與x軸相切，且順次兩圓外切．
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）求證：a₁²+a₂²+…+a_n²＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：⊙C_n：r_n=，⊙C_n-1 ；，根據(jù)兩圓相外切的性質(zhì)可知|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式整理可求，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求進(jìn)而可求a_n
（2）根據(jù)（1）可求，進(jìn)而可求a_n
（3）由=，利用裂項(xiàng)求和及不等式的放縮法可證
解答：（1）證明：由題意知：r_n=y_n，
所以C_n-1（a_n-1，），C_n（a_n，）…（2分）
∵|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，
∴=…（4分）
兩邊平方，整理得 …（5分）
∵a_n-1＞a_n，
∴a_n-1-a_n=2a_n-1a_n…（6分）
∴…（7分）
故是以4為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．…（8分）
（2）解：由（1）知，，
∴  …（10分）
（3）證明：∵…（11分）
=…（12分）
∴
=…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的外切性質(zhì)的應(yīng)用，利用構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用．